在概率论和统计学中，正态分布是一种非常重要的连续概率分布。它广泛应用于自然科学、社会科学以及工程领域。正态分布的概率密度函数通常表示为：
\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]
其中，\( \mu \) 表示均值（期望），而 \( \sigma \) 表示标准差。本文将从数学的角度出发，探讨如何通过公式推导出正态分布的期望与方差。
一、期望值的推导
期望值 \( E(X) \) 是随机变量 \( X \) 的所有可能取值与其对应概率乘积的总和或积分。对于正态分布而言，其期望值可以通过以下公式计算：
\[ E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx \]
将 \( f(x) \) 代入上述公式，得到：
\[ E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx \]
为了简化计算，令 \( z = \frac{x - \mu}{\sigma} \)，即 \( x = \mu + \sigma z \)，并注意到 \( dz = \frac{1}{\sigma} dx \)。变换后，积分变为：
\[ E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (\mu + \sigma z) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz \]
分离常数项和变量项后，分别计算两个部分：
1. 第一部分为 \( \mu \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz \)，这是一个标准正态分布的完整积分，结果为 \( \mu \)。
2. 第二部分为 \( \sigma \int_{-\infty}^{+\infty} z \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz \)，由于被积函数是奇函数且积分区间对称，该积分结果为零。
因此，最终得出 \( E(X) = \mu \)。
二、方差的推导
方差 \( Var(X) \) 定义为 \( E[(X-E(X))^2] \)，即随机变量偏离其期望值平方的平均值。对于正态分布，方差可以通过以下公式计算：
\[ Var(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu)^2 f(x) dx \]
同样地，将 \( f(x) \) 代入公式，并利用 \( z = \frac{x - \mu}{\sigma} \) 的变换，得到：
\[ Var(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (\sigma z)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz \]
进一步化简为：
\[ Var(X) = \sigma^2 \int_{-\infty}^{+\infty} z^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz \]
注意到 \( \int_{-\infty}^{+\infty} z^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz \) 是标准正态分布的二阶矩，其值为 1。因此，最终得出 \( Var(X) = \sigma^2 \)。
结论
通过对正态分布的概率密度函数进行积分变换和性质分析，我们成功推导出了正态分布的期望值 \( E(X) = \mu \) 和方差 \( Var(X) = \sigma^2 \)。这些结论不仅验证了正态分布的基本特性，也为实际应用提供了坚实的理论基础。
