在概率论与数理统计中，泊松分布是一种离散型概率分布，主要用于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布情况。例如，在一定时间段内电话交换机接收到的呼叫次数、某地区一天内发生交通事故的数量等，都可以用泊松分布来建模。

泊松分布的数学表达式为：

P(X=k) = (λ^k e^(-λ)) / k!

其中：

- P(X=k) 表示随机变量X等于k的概率；

- λ（lambda）是泊松分布的参数，通常表示单位时间或空间内事件的平均发生次数；

- e 是自然对数的底数，约等于2.71828；

- k! 是k的阶乘，表示从1到k所有正整数的乘积。

这个公式的含义可以理解为：给定一个固定的平均发生率λ，泊松分布给出了在特定时间段内恰好发生k次事件的概率。它的一个重要特性是其均值和方差都等于λ，这使得泊松分布在处理稀有事件时具有很高的适用性。

泊松分布的应用非常广泛，涵盖了自然科学、社会科学以及工程学等多个领域。比如，在生物学研究中可以用它来分析细胞分裂的频率；在金融行业中，则可能用来评估保险索赔的发生频率等。

值得注意的是，虽然泊松分布假设每个事件的发生都是独立且相互排斥的，并且在足够长的时间段内这些事件的发生概率保持恒定不变，但在实际应用中，这些条件往往难以完全满足。因此，在使用泊松分布模型之前，需要仔细评估数据是否符合这些前提假设。此外，当事件之间的相关性较强或者波动较大时，可能需要考虑其他更为复杂的统计方法来进行更准确的预测。