超几何分布的期望公式为 \(E(X)=n\frac{M}{N}\)，方差公式为 \(Var(X)=n\frac{M}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}\)，其中 \(N\) 为总体容量，\(M\) 为总体中成功类的个数，\(n\) 为抽取次数。这两个公式是理解不放回抽样中随机变量分布特性的核心，在质量控制、抽样调查等领域有广泛应用。

超几何分布描述的是不放回抽样中，从包含 \(N\) 个物品的总体中抽取 \(n\) 个，其中成功类（如次品）有 \(M\) 个，则成功次数 \(X\) 的概率质量函数为 \(P(X=k)=\frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}\)。期望的推导利用组合恒等式，将 \(k\binom{M}{k}=M\binom{M-1}{k-1}\) 代入求和，得到 \(E(X)=n\frac{M}{N}\)。方差的推导则需计算 \(E(X^2)\)，通过类似技巧得到 \(E(X^2)=n\frac{M}{N}\left[(n-1)\frac{M-1}{N-1}+1\right]\)，进而减去期望平方，化简后得到上述方差公式。注意方差中乘以 \(\frac{N-n}{N-1}\) 是有限总体修正因子，当 \(N\) 很大时该因子接近1，此时超几何分布近似于二项分布。

【常见问题】

问题1：超几何分布的期望和方差公式中，各参数的含义是什么？

回答1：超几何分布的期望和方差公式中，\(N\) 表示总体总数，\(M\) 表示总体中成功类的个数，\(n\) 表示抽取的样本量。期望 \(E(X)=n\frac{M}{N}\) 表示平均成功次数，方差 \(Var(X)=n\frac{M}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}\) 反映了样本成功次数的波动程度。

问题2：如何用超几何分布的期望和方差判断抽样方案是否合理？

回答2：通过计算超几何分布的期望和方差，可以评估不放回抽样中预期成功次数及其离散程度。例如在质量检验中，若期望不合格品数过高，或方差过大导致抽检结果不稳定，可调整样本量 \(n\) 或改进抽样方案，从而降低风险。

问题3：超几何分布的期望和方差与二项分布有何异同？

回答3：超几何分布的期望和方差与二项分布形式上相似，期望均为 \(n\) 乘以成功概率，但二项分布的方差为 \(np(1-p)\)，而超几何分布方差多乘了有限总体修正因子 \(\frac{N-n}{N-1}\)。当总体 \(N\) 远大于样本 \(n\) 时，超几何分布的期望和方差趋近于二项分布，因此常用二项分布近似计算。