在数学分析中，不定积分是研究函数原函数的重要工具之一。今天，我们将探讨一个有趣的不定积分问题——求解函数 \( x \ln x \) 的不定积分。

首先，我们需要明确不定积分的基本概念。对于一个函数 \( f(x) \)，它的不定积分是指所有其导数等于 \( f(x) \) 的函数的集合，通常表示为 \( \int f(x) dx \)。在这里，我们要计算的是 \( \int x \ln x \, dx \)。

解决这类问题时，常用的方法是分部积分法。分部积分法基于乘积法则的逆向应用，其公式为：

\[

\int u \, dv = uv - \int v \, du

\]

其中 \( u \) 和 \( v \) 是关于 \( x \) 的函数。

现在，我们选择 \( u = \ln x \) 和 \( dv = x \, dx \)。这样，我们可以得到：

\[

du = \frac{1}{x} \, dx, \quad v = \frac{x^2}{2}

\]

根据分部积分公式，我们有：

\[

\int x \ln x \, dx = \left( \ln x \cdot \frac{x^2}{2} \right) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx

\]

简化第二项积分：

\[

\int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \int \frac{x}{2} \, dx = \frac{x^2}{4}

\]

因此，最终结果为：

\[

\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C

\]

其中 \( C \) 为任意常数。

这个结果展示了如何通过分部积分法有效地处理包含对数函数的不定积分问题。这种方法不仅适用于 \( x \ln x \)，还可以推广到更复杂的函数组合中。

总结来说，通过合理选择 \( u \) 和 \( dv \)，并利用分部积分公式，我们成功地找到了 \( x \ln x \) 的不定积分。这种技巧在微积分的学习和应用中具有重要意义。希望本文能帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学工具。