在数学中，对勾函数（也称为双曲正弦函数的倒数形式）是一种常见的函数类型。其表达式通常为 \( f(x) = x + \frac{k}{x} \)，其中 \( k \) 为常数且 \( x \neq 0 \)。这种函数因其图像类似于对勾而得名。

要证明对勾函数的单调性，我们需要分析其导数。函数的单调性与其导数的符号密切相关。如果导数在整个定义域内大于零，则函数递增；如果导数小于零，则函数递减。

首先，我们计算 \( f(x) \) 的一阶导数：

\[

f'(x) = 1 - \frac{k}{x^2}

\]

接下来，我们需要确定 \( f'(x) \) 的符号变化情况。令 \( f'(x) = 0 \)，可以解出临界点：

\[

1 - \frac{k}{x^2} = 0 \implies x^2 = k \implies x = \pm\sqrt{k}

\]

这些临界点将定义域划分为不同的区间。根据 \( k \) 的取值不同，这些区间的单调性可能会有所变化。例如，当 \( k > 0 \) 时，函数在 \( (-\infty, -\sqrt{k}) \) 和 \( (\sqrt{k}, \infty) \) 上递增，在 \( (-\sqrt{k}, 0) \) 和 \( (0, \sqrt{k}) \) 上递减；而当 \( k < 0 \) 时，情况则相反。

通过上述分析，我们可以得出结论：对勾函数的单调性取决于参数 \( k \) 和变量 \( x \) 的具体取值范围。理解这一点对于解决相关问题至关重要。

总结来说，通过对勾函数的一阶导数进行分析，我们可以有效地判断该函数在其定义域内的单调性。这种方法不仅适用于理论研究，也能帮助我们在实际应用中更好地理解和利用这类函数的特性。